Tin tức
Công Thức Cấp Số Nhân: Lý Thuyết, Cách Tính, Bài Tập Có Lời Giải
Th6
Công thức cấp số nhân là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học THPT. Nội dung này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, thi học kỳ và kỳ thi tốt nghiệp. Nếu nắm vững các công thức và phương pháp giải, học sinh có thể xử lý nhanh nhiều dạng bài tập liên quan đến dãy số.
Vậy cấp số nhân là gì? Công thức số hạng tổng quát, công thức tính tổng cấp số nhân được áp dụng như thế nào? Hãy cùng tìm hiểu chi tiết trong bài viết dưới đây.
Cấp Số Nhân Là Gì?
Cấp số nhân là một dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một hằng số không đổi.
Hằng số đó được gọi là công bội, ký hiệu là q.
Định nghĩa
Dãy số: u₁, u₂, u₃, …, uₙ được gọi là cấp số nhân nếu:
uₙ₊₁ = uₙ × q
Trong đó:
uₙ là số hạng thứ n.
q là công bội.
q ≠ 0.
Ví Dụ Về Cấp Số Nhân
Ví dụ 1
Dãy số: 2, 4, 8, 16, 32,…
Ta có:
4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2
Do đó: q = 2
Đây là một cấp số nhân.
Ví dụ 2
Dãy số:
81, 27, 9, 3, 1,…
Ta có:
27 : 81 = 1/3
9 : 27 = 1/3
Do đó:
q = 1/3
Đây cũng là một cấp số nhân.
Công Thức Tính Công Bội Của Cấp Số Nhân
Nếu biết hai số hạng liên tiếp thì công bội được tính theo công thức:
q = uₙ₊₁ / uₙ
Ví dụ
Cho:
u₁ = 5
u₂ = 15
Ta có:
q = 15 / 5 = 3
Vậy công bội của cấp số nhân là 3.
Công Thức Số Hạng Tổng Quát Của Cấp Số Nhân
Đây là công thức cấp số nhân quan trọng nhất trong chương trình học.
Nếu:
- Số hạng đầu là u₁
- Công bội là q
Thì số hạng thứ n được xác định bởi công thức:
uₙ = u₁ × q^(n-1)
Ví dụ 1: Cho: u₁ = 2, q = 3. Tính u₅.
Áp dụng công thức:
u₅ = 2 × 3^(5-1)
u₅ = 2 × 3⁴
u₅ = 2 × 81
u₅ = 162
Đáp án: u₅ = 162
Ví dụ 2: Cho: u₁ = 10, q = 2. Tính u₆.
Ta có:
u₆ = 10 × 2⁵
u₆ = 10 × 32
u₆ = 320
Đáp án: u₆ = 320
Công Thức Tổng n Số Hạng Đầu Của Cấp Số Nhân
Khi cần tính tổng nhiều số hạng liên tiếp trong cấp số nhân, ta sử dụng công thức sau:
Nếu q ≠ 1:
Sₙ = u₁ × (qⁿ – 1) / (q – 1)
Trong đó:
- Sₙ là tổng n số hạng đầu tiên.
- u₁ là số hạng đầu.
- q là công bội.
Ví Dụ
Cho cấp số nhân: 2, 4, 8, 16, 32,…
Tính tổng 5 số hạng đầu tiên.
Ta có:
u₁ = 2
q = 2
n = 5
Áp dụng công thức:
S₅ = 2 × (2⁵ – 1) / (2 – 1)
S₅ = 2 × (32 – 1)
S₅ = 2 × 31
S₅ = 62
Đáp án: S₅ = 62
Tính Chất Của Cấp Số Nhân
Nếu ba số: uₙ₋₁, uₙ, uₙ₊₁ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân thì:
uₙ² = uₙ₋₁ × uₙ₊₁
Ví dụ
Cho dãy: 3, 6, 12
Ta có:
6² = 36
3 × 12 = 36
Vậy tính chất được thỏa mãn.
Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Về Cấp Số Nhân
Dạng 1: Xác Định Công Bội
Ví dụ
Cho cấp số nhân: 4, 12, 36,…
Tìm công bội.
Lời giải
q = 12 / 4
q = 3
Đáp án: q = 3
Dạng 2: Tính Số Hạng Thứ n
Ví dụ: Cho: u₁ = 5, q = 2. Tính u₇.
Lời giải
u₇ = 5 × 2⁶
u₇ = 5 × 64
u₇ = 320
Đáp án: 320
Dạng 3: Tính Tổng n Số Hạng Đầu
Ví dụ:
Cho: u₁ = 1, q = 3
Tính S₄.
Lời giải
S₄ = 1 × (3⁴ – 1) / (3 – 1)
S₄ = (81 – 1) / 2
S₄ = 40
Đáp án: 40
Bài Tập Về Công Thức Cấp Số Nhân Có Lời Giải
Bài Tập 1: Cho cấp số nhân:
2, 6, 18,…
Tìm công bội q.
Lời giải
q = 6 / 2
q = 3
Đáp án: q = 3
Bài Tập 2: Cho: u₁ = 4, q = 2. Tính u₅.
Lời giải
u₅ = 4 × 2⁴
u₅ = 4 × 16
u₅ = 64
Đáp án: 64
Bài Tập 3: Cho: u₁ = 3, q = 2. Tính S₅.
Lời giải
S₅ = 3 × (2⁵ – 1) / (2 – 1)
S₅ = 3 × (32 – 1)
S₅ = 3 × 31
S₅ = 93
Đáp án: 93
Bài Tập 4: Cho ba số 4, x, 36 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Tìm x.
Lời giải
Áp dụng tính chất:
x² = 4 × 36
x² = 144
x = 12 hoặc x = -12
Đáp án
x = 12 hoặc x = -12
Mẹo Ghi Nhớ Công Thức Cấp Số Nhân
Để học nhanh phần cấp số nhân, bạn có thể ghi nhớ:
Công thức số hạng tổng quát
uₙ = u₁ × q^(n-1)
=> Dùng khi tìm số hạng bất kỳ.
Công thức tổng
Sₙ = u₁ × (qⁿ – 1) / (q – 1)
=> Dùng khi tính tổng nhiều số hạng liên tiếp.
Công thức công bội
q = uₙ₊₁ / uₙ
=> Dùng khi biết hai số hạng liên tiếp.
Câu Hỏi Thường Gặp
Công thức cấp số nhân là gì?
Công thức số hạng tổng quát:
uₙ = u₁ × q^(n-1)
Công thức tính tổng cấp số nhân là gì?
Sₙ = u₁ × (qⁿ – 1) / (q – 1)
với q ≠ 1.
Công bội của cấp số nhân là gì?
Là hằng số q sao cho:
uₙ₊₁ = uₙ × q
Làm sao nhận biết cấp số nhân?
Nếu tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp luôn không đổi thì dãy số đó là cấp số nhân.
Kết Luận
Công thức cấp số nhân là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán THPT và thường xuất hiện trong các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Để học tốt phần này, học sinh cần ghi nhớ ba nội dung trọng tâm gồm: công thức tính công bội, công thức số hạng tổng quát và công thức tổng n số hạng đầu tiên.
Việc luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau sẽ giúp bạn ghi nhớ công thức lâu hơn và giải bài tập nhanh, chính xác hơn trong các kỳ kiểm tra và thi cử.